Cette page fait partie du cours de polytech PeiP1 et 2 Bio

3. Mise en pratique : zéro d'une fonction

3.1. Introduction

Dans ce TP on cherche une valeur pour laquelle une fonction réelle d'une variable s'annule.

Soit $f(x)$ de $ℝ$ dans $ℝ$, on cherche $x_0$ tel que $f(x_0) = 0$.

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre ce problème, nous allons étudier les méthodes suivantes :

• méthode par dichotomie
• méthode de la sécante
• méthode de la tangente

Pour chacune de ces méthodes on considérera que l'on est dans un intervalle $[a..b]$ sur lequel la fonction s'annule et que le produit $f(a) × f(b) < 0$.

3.2. Méthode par dichotomie

Cette méthode consiste à prendre le milieu de l'intervalle $[a..b]$ défini par :

• si $f(a) × f(x_0) < 0$ alors cela signifie que le zéro de la fonction est dans l'intervalle $[a,x_0]$
• si $f(x_0) × f(b) < 0$ alors cela signifie que le zéro de la fonction est dans l'intervalle $[x_0,b]$

On remplace alors $b$ par $x_0$ (ou dans le second cas $a$ par $x_0$) et on continue jusqu'à trouver une valeur de $x_0$ telle que $f(x_0)$ soit proche de 0.

La seule difficulté réside dans l'expression $f(x_0)$ n'est pas proche de 0. Ce qui en informatique se traduit par $| f(x_0) | < ε$, c'est à dire que la valeur absolue est inférieure à un espilon (petit) donné.

3.3. Méthode de la sécante

Cette méthode consiste à trouver le point $x_0$ pour lequel la droite $y = vx +w$ passant par les points $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ s'annule

En ce qui concerne la sécante, elle vérifie : $$f(a) = a × v + w$$ et $$f(b) = b × v + w$$

On a donc :

et

Elle coupe donc l'axe des $x$ lorsque $y = 0 = v × x + w$, soit $x = -w / v:

3.4. Méthode de la tangente

Cette méthode consiste à trouver le point $x_0$ pour lequel la tangente à la courbe s'annule.

L'équation de la tangente en un point $x_0$ est $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x-0)$, où $f'$ est la dérivée de $f$.

La tangente en un point d'abscisse $x_0$ coupe donc l'axe des $x$ en un point $x_t = x_0 - {f(x_0)} / {f'(x_0)}$.

On commencera en prenant $x_0 = (a + b) / 2$.

Implantez en Python l'algorithme de la tangente pour la recherche du zéro d'une fonction.

Pour le calcul de la dérivée on pourra utiliser l'une des méthodes suivantes :

• la formule de la dérivée : $$f'(x) = {f(x + ε) - f(x)}/ ε$$
• le calcul par Python en utilisant sympy (Symbolic Python) :
  Warning: file_get_contents(polytech/calcul_derivee.py): Failed to open stream: No such file or directory in /home/jeanmichel.richer/public_html/ez_web.php on line 397
  
  Afficher le code    polytech/calcul_derivee.py

  1.  

3.5. Recherche des zéros de la fonction x*x*sin(x)

On va chercher à déterminer les zéros de la fonction $x × x × sin(x)$.

On voit sur le graphe de la fonction qu'elle possède sur l'intervalle $[0..10]$ plusieurs valeurs qui l'annulent :

• en 0
• entre 3 et 4 : $x_0 = π$
• entre 6 et 7 : $x_0 = 2π$
• entre 9 et 10: $x_0 = 3π$
• etc

3.5.1. Programme de recherche

Ecrire un programme qui permet de rechercher les zéros d'une fonction dans un intervalle donné. Par exemple dans l'intervalle $[0..10]$.

3.5.2. Anomalie

Dans le cas de la méthode de la tangente il faut être proche du zéro pour en obtenir la valeur exacte. En d'autres termes, l'intervalle de recherche initial $[a..b]$ doit se situer proche de $x_0$.

Essayez de trouver un des $x_0$ de la fonction $x × x × sin(x)$ en partant de la valeur 5. Quel résultat obtenez vous et pourquoi ?

Par exemple le programme suivant :

donne comme résultat :