On commence par convertir 1299 en base 2

• en utilisant des divisions par 2
• ou en cherchant les puissances de 2 dans $1299$ :
  • $1299$ contient $1024 = 2^{10}$, donc on retranche $1024$ à $1299$ et on continue avec $1299-1024 = 275$
  • $275$ contient $256 = 2^8$, on continue avec $275-256 = 19$
  • $19 = 16 + 3 = 16 + 2 + 1 = 2^4 + 2^1 + 2^0$

Au final on trouve $1299 = 101\_0001\_0011_2$

Pour convertir en base 8, il suffit de prendre les triplets de bits de la notation binaire : $10\_100\_010\_011_2 = 2423_8$

Pour convertir en base 16, il suffit de prendre les quartets de la notation binaire : $101\_0001\_0011_2 = 513_{16}$

Pour la base 30, on cherche combien de fois $30^2 = 900$ apparaît dans $1299$ : une seule fois car $1299 - 1 × 900 = 399 < 900$, puis on continue avec $30^1$, au final on trouve que $1299=1 × 30^2 + 13 × 30^1 + 9 × 30^0=1D9_{30}$.

On suit le même principe qu'en base 16, si un des chiffres est supérieur à 9, on utilise une lettre.

Pour $1789$, on trouve $110\_1111\_1101_2 = 3375_8 = 6FD_{16}$

$1789 = 1 × 30^2 + 29 × 30^1 + 19 × 30^0 = {1TJ}_{10}$

$-23$ sur 8 bits en notation binaire en complément à 2 est $1110\_1001$

$-5$ sur 8 bits en notation binaire en complément à 2 est $1111\_1011$

La somme donne $1110\_0100$, on retranche $1$ à ce résultat on obtient $1110\_0011$, puis on calcule le complément soit $0001\_1100_2$ qui correspond à $16 + 8 + 4 = 28$. Donc $1110\_0100$ correspond à $-28$, le calcul est exact.

Le produit est $0111\_0011_2 = 115$, le résultat est correct car on reste dans l'intervalle de représentation qui est $[-128..+127]$.

Il s'agit d'un nombre négatif donc le bit de signe sera à 1.

La partie entière en binaire est $12 = 1100_2$

Pour la partie réelle on cherche les puissances de 2 négatives qui additionnées entre elles donnent la valeur $0.09375$

$2^{-1}$	$0.5$
$2^{-2}$	$0.25$
$2^{-3}$	$0.125$
$2^{-4}$	$0.0625$
$2^{-5}$	$0.03125$
$2^{-6}$	$0.015625$

Il est clair que $2^{-4} + 2^{-5} = 0.09375$.

Donc $12.09375 = 1100,00011_2$.

On normalise ce nombre ce qui donne : $1,1000011$, on a donc déplacé la virgule de trois rangs vers la gauche ($+3$), donc l'exposant décalé est $127 + 3 = 130$ soit $128 + 2 = 1000\_0010_2$

La mantisse tronquée est $1000011$

Au final on obtient :

S	Exp. Décalé	Mantisse tronquée
$1$	$10000010$	$100000110...0$
$1100\_0001\_0100\_0001\_1000\_0...0$

Ce qui en hexadécimal donne $C1\_41\_80\_00$.

En UTF-32 tous les caractères occuppent 4 octets, il faudra donc $(20 + 7 + 13 + 6) × 4 = 46 × 4 = 184$ octets pour représenter la chaîne.

En UTF-8, en fonction de la plage de représentation on utilisera 1, 2, 3 ou 4 octets. Ici en l'occurrence, on aura $20 × 1 + 7 × 2 + 13 × 3 + 6 × 4 = 97$ octets

D'après les loi de De Morgan ${\ov{A+B} = \ov{A}.\ov{B}$.

Le terme dans la parenthèse est de la forme $(X + {\ov{X} + A.C + ...)$ avec $X = A.B$.

Or on sait que $X + \ov{X} = 1$ et $1 + Y = 1$, on en déduit donc que le terme dans la parenthèse se réduit à $1$ et donc l'expression finale est :

$$ \ov{A}.\ov{B} $$

Pour la fonction minorité, la table de vérité de la fonction est:

X	Y	Z	min(X,Y,Z)
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

On a donc $min(X,Y,Z) = \ov{X}.\ov{Y}.\ov{Z} + \ov{X}.\ov{Y}.Z + \ov{X}.Y.\ov{Z} + X.\ov{Y}.\ov{Z} $, que l'on simplifie en :

$$ \ov{X}.\ov{Y}. (\ov{Z} + Z) + \ov{X}.Y.\ov{Z} + X.\ov{Y}.\ov{Z} $$

or $\ov{Z} + Z = 1$ :

$$ \ov{X}.\ov{Y} + \ov{X}.Y.\ov{Z} + X.\ov{Y}.\ov{Z} $$

On met $\ov{X}$ en facteur :

$$ \ov{X}.(\ov{Y} + Y.\ov{Z}) + X.\ov{Y}.\ov{Z} $$

or $\ov{Y} + Y.\ov{Z}$ se simplifie en $\ov{Y} + \ov{Z}$ :

$$ \ov{X}.(\ov{Y} + \ov{Z}) + X.\ov{Y}.\ov{Z} $$

on développe :

$$ \ov{X}.\ov{Y} + \ov{X}.\ov{Z}) + X.\ov{Y}.\ov{Z} $$

on factorise par $\ov{Z}$ :

$$ \ov{X}.\ov{Y} + (\ov{X} + X.\ov{Y}).\ov{Z} $$

or, $\ov{X} + X.\ov{Y}$ se simplifie en $\ov{X} + \ov{Y}$ :

$$ \ov{X}.\ov{Y} + (\ov{X} + \ov{Y}).\ov{Z} $$

donc au final :

$$ \ov{X}.\ov{Y} + \ov{X}.\ov{Z} + \ov{Y}.\ov{Z} $$